2. 計算はPythonにさせてしまおう

Pythonを用いて計算問題をときながら、「Python 勘」を取り戻していきましょう。

今回は、数学や物理を学ぶときにも「Pythonは便利だな」と思わず感じてしまう SymPy と代数計算を紹介します。

2.1. SymPyとは

SymPy は、Mathematica や Maple の代替を目指して開発が進められている Python の代数計算ライブラリです。

初歩的な数学の問題を解くときに重宝します。

2.1.1. 準備

最初に、SymPy のモジュールをインポートします。

from sympy import *

Colab上では、数式をmathjax で表示できるように設定しておくとよいでしょう。

def custom_latex_printer(exp,**options):
    from google.colab.output._publish import javascript
    url = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.3/latest.js"
    javascript(url=url)
    return printing.latex(exp,**options)
init_printing(use_latex="mathjax",latex_printer=custom_latex_printer)

2.2. 代数計算とは

代数操作とは、数式を数値として計算することなく、シンボル(代数)の操作として計算することです。

数値計算(従来)

x = 1
y = 2
x + y + y + x + x

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代数計算では、変数はシンボルであると宣言します。 すると、変数に数値を代入することなく、シンボルのまま計算されます。

代数計算(SymPy)

x = Symbol('x')
y = Symbol('y')

x + y + y + x + x

$\displaystyle 3 x + 2 y$

xもyも代数式なので、代入されたzも代数式となります。

z = x + y + y + x + x
z

$\displaystyle 3 x + 2 y$

また、代数式に対するPythonの演算は、代数操作となります。

z ** 2

$\displaystyle \left(3 x + 2 y\right)^{2}$

2.2.1. 関数や定数

三角関数、 𝜋 などは、SymPyからインポートされたものを用います。

sin(pi/3)

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

2.2.2. 数値解の求め方

数値解を求めたいときは、float()を用います。

float(sin(pi/3))

0.8660254037844386

例題（代数式）

次の式を書いてみよう

1. \(\sin{x}+\cos{y}\)

2. \(e^{x}\)

3. \(\frac{x+xy}{x}\)

sin(x)+cos(y)

$\displaystyle \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(y \right)}$

E**x

$\displaystyle e^{x}$

(x+x*y)/x

$\displaystyle \frac{x y + x}{x}$

2.3. 基本的な代数操作

数学でおなじみの代数操作（式の変形）を使ってみましょう。

1. 展開 (expand)

2. 因数分解(factor)

3. 簡易化 (symplify)

4. 代入 (substitution)

Pythonは英語

Pythonの関数名やメソッド名は、英語か英語の省略した名称になっています。 英語に強いと意味はすぐにわかりますが、英語だと認識しないとアルファベット列です。 関数を覚えるときは、（辞書で意味を調べて）英単語も同時に覚えるようにしましょう。

準備

x, y, z をシンボルとします。

x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
z = Symbol('z')

2.3.1. 式の展開

式を展開するときは、expand()を用います。

例. \((x+y)^3\)の展開

(x+y)**3

$\displaystyle \left(x + y\right)^{3}$

expand((x+y)**3)

$\displaystyle x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

三角関数が含まれるときは、trig=Trueを追加します。

例. \(cos(x+y)\)

expand(cos(x + y), trig=True)

$\displaystyle - \sin{\left(x \right)} \sin{\left(y \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)}$

部分分数への展開はapart()を用います。

例. \(\frac{1}{x(x+1)}\)

1/(x*(x+1))

$\displaystyle \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

apart(1/(x*(x+1)))

$\displaystyle - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}$

2.3.2. 因数分解

式を因数分解するときは、factor()を用います。

例. (受験でお馴染みの)\(x^3+y^3+z^3 - 3xyz\)の因数分解

x**3 + y**3 + z**3 - 3*x*y*z

$\displaystyle x^{3} - 3 x y z + y^{3} + z^{3}$

factor(x**3+y**3+z**3-3*x*y*z)

$\displaystyle \left(x + y + z\right) \left(x^{2} - x y - x z + y^{2} - y z + z^{2}\right)$

2.3.3. 式の簡略化

式を簡易化するときはsimplify()を用います。

例. \(\frac{x+xy}{x}\) の簡略化

simplify((x + x*y)/x)

$\displaystyle y + 1$

三角関数を含む式を簡略化したいときは、trigsimp() を用います。

例. \(\cos^2{x}-\sin^2{x}\)

trigsimp(cos(x)**2 - sin(x)**2)

$\displaystyle \cos{\left(2 x \right)}$

2.3.4. 式の代入

式への代入は、subs()メソッドを用います。

例. \(x^3+y^3+z^3-3xyz\) の\(z\)に1を代入する

(x**3+y**3+z**3-3*x*y*z).subs(z, 1)

$\displaystyle x^{3} - 3 x y + y^{3} + 1$

2.4. 方程式の解法

solve()を用いると、方程式の解を求めることができる。

例. \(x^4=1\)のxの解

solve(x**4-1, x)

[-1, 1, -I, I]

連立方程式は、リストで与えます。

例. 連立方程式 𝑥+5𝑦=2,−3𝑥+6𝑦=15 の解

solve([x+5*y-2, -3*x+6*y-15], [x,y])

{x: -3, y: 1}

2.5. 初等解析

2.5.1. 極限

極限は、limit()を用いて求めることができます。

例. \(\lim_{x \to 0} x^x\)

limit(x**x, x, 0)

$\displaystyle 1$

無限大は、ooと書きます。

例. \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\)

limit(1/x, x, oo)

$\displaystyle 0$

2.5.2. 微分

微分は、diff()を用います。

例. :math:`frac{x}{dx}sin{x}`

diff(sin(x), x)

$\displaystyle \cos{\left(x \right)}$

2.5.3. 積分

積分は、integrate(関数, 変数)によって、初等関数, 特殊関数の積分が可能です。

例 \(\int \log x ~dx\)

integrate(log(x), x)

$\displaystyle x \log{\left(x \right)} - x$

例 \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\)

integrate(exp(-x**2), (x, -oo, oo))

$\displaystyle \sqrt{\pi}$

2.6. コースワーク

Pythonの習得で重要なのは、習ったことを覚えてプログラミングすることではありません。 「こういうことはできるかな？」と調べて、ソースコードを参考にプログラミングすることです。 ぜひ、解いてみましょう。

演習（数式）

1. \(\int_{-\infty}^\infty \sin{x^2} dx\) を求めよ

2. \(\int_{0}^\infty (\sqrt{x^2+1}-1)^2 dx\) を求めよ

3. \(f(x)=\frac{4x^2+2x+1}{x^2+1}\)の極値を求めよ

4. 大学入試の過去問からSymPyで解ける問題を探して解いてみよう

ヒント

色々な解き方があります。

1. SymPyを使っても解いてみましょう。

2. どうしても解けなければ、手で解いても構いません